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ESSAY / NOTE

简单线性回归(Simple Linear Regression)原理讲解及示例

2017-06-16 ·admin
0. 前提介绍：
为什么需要统计量？
统计量：描述数据特征
0.1 集中趋势衡量
0.1.1均值（平均数，平均值）（mean）
Image
{6, 2, 9, 1, 2}
(6 + 2 + 9 + 1 + 2) / 5 = 20 / 5 = 4
0.1.2中位数 （median）: 将数据中的各个数值按照大小顺序排列，居于中间位置的变量
0.1.2.1. 给数据排序：1， 2， 2， 6， 9
0.1.2.2. 找出位置处于中间的变量：2
    当n为基数的时候：直接取位置处于中间的变量
    当n为偶数的时候，取中间两个量的平均值
     0.1.2众数 （mode）：数据中出现次数最多的数
0.2
0.2.1. 离散程度衡量
0.2.1.1方差（variance)
Image [1]
{6, 2, 9, 1, 2}
(1) (6 - 4)^2 + (2 - 4) ^2 + (9 - 4)^2 + (1 - 4)^2 + (2 - 4)^2
   = 4 + 4 + 25 + 9 + 4
   = 46
(2) n - 1 = 5 - 1 = 4
(3) 46 / 4 = 11.5
0.2.1.2标准差 (standard deviation)
Image [2] s = sqrt(11.5) = 3.39
1. 介绍：回归(regression) Y变量为连续数值型(continuous numerical variable)
                    如：房价，人数，降雨量
             分类(Classification): Y变量为类别型(categorical variable)
                    如：颜色类别，电脑品牌，有无信誉
2. 简单线性回归(Simple Linear Regression)
     2.1 很多做决定过过程通常是根据两个或者多个变量之间的关系
     2.3 回归分析(regression analysis)用来建立方程模拟两个或者多个变量之间如何关联
     2.4 被预测的变量叫做：因变量(dependent variable), y, 输出(output)
     2.5 被用来进行预测的变量叫做： 自变量(independent variable), x, 输入(input)
3. 简单线性回归介绍
     3.1 简单线性回归包含一个自变量(x)和一个因变量(y)
     3.2 以上两个变量的关系用一条直线来模拟
     3.3 如果包含两个以上的自变量，则称作多元回归分析(multiple regression)
4. 简单线性回归模型
     4.1 被用来描述因变量(y)和自变量(X)以及偏差(error)之间关系的方程叫做回归模型
     4.2 简单线性回归的模型是:
Image [3] β0 β1是参数 ε是偏差
5. 简单线性回归方程
                         E(y) = β0+β1x
         这个方程对应的图像是一条直线，称作回归线
         其中，β0是回归线的截距
                  β1是回归线的斜率
                  E(y)是在一个给定x值下y的期望值（均值）
6. 正向线性关系：
Image [4]
7. 负向线性关系：
Image [5]
  8. 无关系
Image [6]
9. 估计的简单线性回归方程
          ŷ=b0+b1x
     这个方程叫做估计线性方程(estimated regression line)
     其中，b0是估计线性方程的纵截距
               b1是估计线性方程的斜率
               ŷ是在自变量x等于一个给定值的时候，y的估计值
10. 线性回归分析流程：
Image [7]
11. 关于偏差ε的假定
     11.1 是一个随机的变量，均值为0
     11.2 ε的方差(variance)对于所有的自变量x是一样的
     11.3 ε的值是独立的
     11.4 ε满足正态分布
模型举例 1. 简单线性回归模型举例：
汽车卖家做电视广告数量与卖出的汽车数量：
Image 1.1 如何练处适合简单线性回归模型的最佳回归线？ Image [1] Image [2]
使sum of squares最小
1.1.2 计算
Image [3]
分子 = (1-2)(14-20)+(3-2)(24-20)+(2-2)(18-20)+(1-2)(17-20)+(3-2)(27-20)
      = 6 + 4 + 0 + 3 + 7
      = 20
分母 = （1-2）^2 + (3-2)^2 + (2-2)^2 + (1-2)^2 + (3-2)^2
       = 1 + 1 + 0 + 1 + 1
       4
b1 = 20/4  =5
Image [4]
b0 = 20 - 5*2 = 20 - 10 = 10
Image [5]
1.2 预测：
假设有一周广告数量为6，预测的汽车销售量是多少？
Image [6]
x_given = 6
Y_hat = 5*6 + 10 = 40
如上示例使用python代码实现 与上面公式对照实现 并 预测 
# -*- encoding=utf-8 -*-
#简单现行回归：只有一个自变量 y=k*x+b 预测使 (y-y*)^2  最小
import numpy as np

def fitSLR(x,y):
    n=len(x)
    dinominator = 0 #初始化分母
    numerator=0 #初始化分子
    #循环计算分子分母 按照方程公式计算
    for i in range(0,n):
        numerator += (x[i]-np.mean(x))*(y[i]-np.mean(y))
        dinominator += (x[i]-np.mean(x))**2
        
    print("numerator:"+str(numerator))
    print("dinominator:"+str(dinominator))
    #计算b1 b0
    b1 = numerator/float(dinominator)
    b0 = np.mean(y)/float(np.mean(x))
    
    return b0,b1


# y= b0+x*b1 定义预测方程
def prefict(x,b0,b1):
    return b0+x*b1

x=[1,3,2,1,3]
y=[14,24,18,17,27]

b0,b1=fitSLR(x, y)
y_predict = prefict(6,b0,b1)
print("y_predict:"+str(y_predict))
输出 
numerator:20.0
dinominator:4.0
y_predict:40.0
下载py代码SLR